jueves, 25 de febrero de 2010

Los sólidos platónicos, el omnipoliedro y las creencias.

Los sólidos platónicos

Según Wikipedia
Los sólidos platónicos, también conocidos como cuerpos platónicos, cuerpos cósmicos, sólidos pitagóricos, sólidos perfectos, poliedros de Platón o, con más precisión, poliedros regulares convexos; son cuerpos geométricos caracterizados por ser poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cuyos vértices se unen el mismo número de caras.

Tomaremos esa definción como referencia para definir los sólidos platónicos (que obviamente deben su nombre a Platón el primero que los estudió)

Todos aquellos que lean este blog es seguro que habrán conocido alguno de ellos, pero quizá no llamándolo así. La lista de los sólidos platónicos es pequeña, puesto que ningún otro sólido cumple esas mismas condiciones.
Son 5 los sólidos platónicos:
El tetraedro, con 4 caras triangulares equiláteras y un ángulo de 70, 53º


El cubo o hexaedro, con 6 caras cuadradas y un ángulo de 90º


El octaedro, con 8 caras triangulares equiláteras y un ángulo de 109,47º


El icosaedro, con 20 caras triangulares equiláteras y un ángulo de 138,19º


El dodecaedro, con 12 caras pentagonales regulares y un ángulo de 116,56º

Una vez conocidos, hay que estudiar sus propiedades

- Regularidad:
  • Todas las caras de un sólido platónico son polígonos regulares iguales.
  • En todos los vértices de un sólido platónico concurren el mismo número de caras y de aristas.
  • Todas las aristas de un sólido platónico tienen la misma longitud.
  • Todos los ángulos diedro que forman las caras de un sólido platónico entre sí son iguales.
  • Todos sus vertices son convexos a los del icosaedro.
- Simetría:
  • Los sólidos platónicos son fuertemente simétricos:

  • Todos ellos gozan de simetría central respecto a un punto del espacio centro de simetría que equidista de sus caras, de sus vértices y de sus aristas.
  • Todos ellos tienen además simetría axial respecto a una serie de ejes de simetría que pasan por el centro de simetría anterior.
  • Todos ellos tienen también simetría especular respecto a una serie de planos de simetría (o planos principales), que los dividen en dos partes iguales.

Como consecuencia geométrica de lo anterior, se pueden trazar en todo sólido platónico tres esferas particulares, todas ellas centradas en el centro de simetría del poliedro:

  • Una esfera inscrita, tangente a todas sus caras en su centro.
  • Una segunda esfera tangente a todas las aristas en su centro.
  • Una esfera circunscrita, que pase por todos los vértices del poliedro.

Proyectando los centros de las aristas de un poliedro platónico sobre su esfera circunscrita desde el centro de simetría del poliedro se obtiene una red esférica regular, compuesta por arcos iguales de círculo máximo, que constituyen polígonos esféricos regulares.

-Conjugación:

Si se traza un poliedro empleando como vértices los centros de las caras de un sólido platónico se obtiene otro sólido platónico, llamado conjugado del primero, con tantos vértices como caras tenía el sólido inicial, y el mismo número de aristas. El poliedro conjugado de un dodecaedro es un icosaedro, y viceversa; el de un cubo es un octaedro; y poliedro conjugado de un tetraedro es otro tetraedro.

Los sólidos platónicos se presentan en la naturaleza (como por ejemplo la estructura básica del VIH, que es un icosaedro) y también el ser humano las ha utilizado para diversas cosas, como bien podréis adivinar.

Un ejemplo, los dados.

El Omnipoliedro




Un omnipoliedro es una composición realizada con los armazones de los cinco sólidos platónicos de forma que cada uno de ellos queda inscrito en otro.
Para empezar colocamos el octaedro (blanco), inscrito en el tetraedro (rojo), para lo cual hacemos que sus vértices coincidan con el centro de las aristas del tetraedro. A continuación podríamos colocar el cubo (amarillo), haciendo coincidir los cuatro vértices del tetraedro con otros tantos de aquel.

Ahora rodearíamos con el dodecaedro (verde), para lo que buscariamos la coincidencia de los ocho vértices del cubo. Por último se dispone el icosaedro (azul). Las aristas de este y el dodecaedro, se cortan en los puntos medios. Los centros de las caras de un icosaedro determinan un dodecaedro.

Por cierto, aquí un vídeo de como unos alumnos de 2º de ESO construyen un omniedro:


Las creencias de Platón

La historia de los sólidos platónicos se remonta a Platón y Pitágoras. Estos pensaban que los sólidos platónicos tenian propiedades mágicas y era de lo que estaba formado todo el universo. Los 4 elementos (que en la Antigua Grecia se suponía que formaban todas las cosas, como ahora los elementos químicos) eran atribuidos a cada figura: el tetraedro simbolizaba el fuego, el cubo la tierra, el octaedro el aire y el icosaedro el agua. El dodecaedro era el más especial de todos, puesto que se pensaba que era el cosmos y la clave de descifrar los secretos del mundo.
Aquí les dejo un texto explicativo de Wikipedia y un ameno vídeo sobre las creencias sobre los sólidos platónicos. (Por cierto, unos compañeros nuestros elaboraron un artículo sobre el Teorema de Pitágoras, por si estás interesado en él)
Se les llegó a atribuir incluso propiedades mágicas o mitológicas; Timeo de Locri, en el diálogo de Platón dice «El fuego está formado por tetraedros; el aire, de octaedros; el agua, de icosaedros; la tierra de cubos; y como aún es posible una quinta forma, Dios ha utilizado ésta, el dodecaedro pentagonal, para que sirva de límite al mundo». Los antiguos griegos estudiaron los sólidos platónicos a fondo.


Imágenes: Wikipedia

6 comentarios:

  1. Catetos de la geometría, os RETAMOS.

    http://kon-pas.blogspot.com/p/soluciones-de-los-duelos.html

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  2. Muy Pero Muy Bien
    Gracias

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  3. De los cinco solidos platónicos existentes, cual es el mas recomendable para hacer un tanque para almacenar agua y que ventajas encuentras frente a los demás solidos platónicos.?

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    1. El dodecaedro, te pongo un ejemplo claro como es el dodecaedro de torroja en españa

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