lunes, 8 de marzo de 2010

Duelo

Tras una semana de parón por los examenes, retomamos el duelo. Como ningún grupo se ofreció, retamos a los únicos que hicieron un intento de aceptarlo: Palabros.
Aqui el duelo, teneis 3 dias (hasta el jueves) para hacerlo:
Hacer un triángulo equilátero semejante a un triángulo rectángulo de hipotenusa 15 mm y con un cateto de 10 mm.

sábado, 6 de marzo de 2010

LA GEOMETRÍA DE CHICLE

- ¿Cuántos lados tiene una circunferencia?
- Dos, el de dentro y el de fuera.
Aunque parezca un chiste matemático, a lo largo de esta entrada descubriréis que no lo es del todo.

Hablamos de topología: es una rama de la geometría que estudia únicamente las propiedades de los cuerpos geométricos que permanecen invariantes cuando sufren transformaciones..
Es una geometría sin medidas, llamada también geometría de la membrana de goma o del chicle, puesto que las figuras siguen siendo las mismas aunque las sometamos a deformaciones (retorcer, distorsionar, estirar, contraer...) pero sin desgarramientos ni roturas: es como si estuvieran hechas de goma o plastilina.

Por ejemplo, el tamaño y la forma no son propiedades topológicas: un globo se puede hinchar o deshinchar, deformarse en un cubo o tomar la forma de una jirafa sin necesidad de desgarrarlo.
Sin embargo, una cuerda que está unida por las dos partes con un nudo o no, sería una propiedad topológica. Una de estas propiedades de las curvas en el espacio, es que una curva cerrada divide al plano que la contiene en dos partes: la interior y la exterior.
El número de dimensiones de una figura, la proximidad, el tipo de textura, el hecho de tener o no borde, el número de agujeros... son también propiedades topológicas.

El número de agujeros que presenta una figura es lo que se conoce como su género (es el número máximo de cortes que se le puede hacer sin partirla en dos trozos).
-Una esfera maciza es de género 0, puesto que carece de agujeros y sólo es necesario un corte para romperla en dos partes.
-Una rosquilla tiene género 1, pues tiene un agujero y se le puede hacer un corte sin romperlo en dos pedazos.
-Unas gafas sin cristales tienen género 2, porque al tener dos agujeros se les pueden hacer dos cortes sin romperlas en dos partes.

Una esfera, un cubo y una pirámide son topológicamente lo mismo porque podríamos transformar uno en otro sin necesidad de romper ni unir sus partes.
Sin embargo, una circunferencia no es lo mismo que un segmento, puesto que habría que partirla por algún punto.
Un ejemplo típico es el de la rosquilla y la taza de café, figuras topológicamente equivalentes, de género 1.

Y si lo pensáis, los seres humanos también somos de género 1. Somos topológicamente equivalentes a las rosquillas: nuestro tubo digestivo correspondería al agujero de un donut.

Aquí os dejo un curioso vídeo:





La topología es por supuesto una disciplina matemática, y como tal, a menudo en el trabajo teórico no hace falta tener un método para encontrar la solución, sino que lo importante es saber que existe tal solución.
Por ejemplo, siempre hay un par de puntos diametralmente opuestos (antipodales) sobre la superficie de la Tierra que tienen exactamente la misma temperatura y presión. Estos puntos van variando y no hay manera de encontrarlos, pero podemos demostrar que existen siempre.


Históricamente, las primeras menciones a una geometría sin medidas proceden de Leibniz, quién la llamó geometría de la posición. Pero no es hasta la resolución del famoso problema de los puentes de Königsberg por parte de Euler, cuando se habla de "topología".

Aquí tenéis más temas relacionados en los blogs de nuestros compañeros: problema de los puentes de Königsberg y Cinta de Möbius .


Por último, un paréntesis entre tanta geometría para enseñaros esta tira cómica:



domingo, 28 de febrero de 2010

RESOLUCIÓN del duelo propuesto por Kon-Pas

Enunciado: Determinar gráficamente un círculo c equivalente (de igual áerea) al hexágono irregular ABCDEF dado.
- Transformamos el hexágono irregular en un pentágono irregular de área equivalente.
-El pentágono al igual que el hexágono ahora lo transformamos en un triangulo de área equivalente (dividimos el pentágono en triángulos para ello movemos sus vértices conservando alturas).
- Hacemos media proporcional entre la mitad de la altura del triángulo y su base obteniendo el lado del cuadrado equivalente.
- El lado obtenido lo dividimos en once partes, tomamos siete de ellas y de esas siete la mitad.
- De la media proporcional de 7/2 y el lado del cuadrado obtenemos el radio del circulo equivalente.

Aquel grupo que quiera aceptar el duelo puede comentarlo aquí y se creará el ejercicio a resolver, de lo contrario se eligirá a un grupo al azar.











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jueves, 25 de febrero de 2010

Los sólidos platónicos, el omnipoliedro y las creencias.

Los sólidos platónicos

Según Wikipedia
Los sólidos platónicos, también conocidos como cuerpos platónicos, cuerpos cósmicos, sólidos pitagóricos, sólidos perfectos, poliedros de Platón o, con más precisión, poliedros regulares convexos; son cuerpos geométricos caracterizados por ser poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cuyos vértices se unen el mismo número de caras.

Tomaremos esa definción como referencia para definir los sólidos platónicos (que obviamente deben su nombre a Platón el primero que los estudió)

Todos aquellos que lean este blog es seguro que habrán conocido alguno de ellos, pero quizá no llamándolo así. La lista de los sólidos platónicos es pequeña, puesto que ningún otro sólido cumple esas mismas condiciones.
Son 5 los sólidos platónicos:
El tetraedro, con 4 caras triangulares equiláteras y un ángulo de 70, 53º


El cubo o hexaedro, con 6 caras cuadradas y un ángulo de 90º


El octaedro, con 8 caras triangulares equiláteras y un ángulo de 109,47º


El icosaedro, con 20 caras triangulares equiláteras y un ángulo de 138,19º


El dodecaedro, con 12 caras pentagonales regulares y un ángulo de 116,56º

Una vez conocidos, hay que estudiar sus propiedades

- Regularidad:
  • Todas las caras de un sólido platónico son polígonos regulares iguales.
  • En todos los vértices de un sólido platónico concurren el mismo número de caras y de aristas.
  • Todas las aristas de un sólido platónico tienen la misma longitud.
  • Todos los ángulos diedro que forman las caras de un sólido platónico entre sí son iguales.
  • Todos sus vertices son convexos a los del icosaedro.
- Simetría:
  • Los sólidos platónicos son fuertemente simétricos:

  • Todos ellos gozan de simetría central respecto a un punto del espacio centro de simetría que equidista de sus caras, de sus vértices y de sus aristas.
  • Todos ellos tienen además simetría axial respecto a una serie de ejes de simetría que pasan por el centro de simetría anterior.
  • Todos ellos tienen también simetría especular respecto a una serie de planos de simetría (o planos principales), que los dividen en dos partes iguales.

Como consecuencia geométrica de lo anterior, se pueden trazar en todo sólido platónico tres esferas particulares, todas ellas centradas en el centro de simetría del poliedro:

  • Una esfera inscrita, tangente a todas sus caras en su centro.
  • Una segunda esfera tangente a todas las aristas en su centro.
  • Una esfera circunscrita, que pase por todos los vértices del poliedro.

Proyectando los centros de las aristas de un poliedro platónico sobre su esfera circunscrita desde el centro de simetría del poliedro se obtiene una red esférica regular, compuesta por arcos iguales de círculo máximo, que constituyen polígonos esféricos regulares.

-Conjugación:

Si se traza un poliedro empleando como vértices los centros de las caras de un sólido platónico se obtiene otro sólido platónico, llamado conjugado del primero, con tantos vértices como caras tenía el sólido inicial, y el mismo número de aristas. El poliedro conjugado de un dodecaedro es un icosaedro, y viceversa; el de un cubo es un octaedro; y poliedro conjugado de un tetraedro es otro tetraedro.

Los sólidos platónicos se presentan en la naturaleza (como por ejemplo la estructura básica del VIH, que es un icosaedro) y también el ser humano las ha utilizado para diversas cosas, como bien podréis adivinar.

Un ejemplo, los dados.

El Omnipoliedro




Un omnipoliedro es una composición realizada con los armazones de los cinco sólidos platónicos de forma que cada uno de ellos queda inscrito en otro.
Para empezar colocamos el octaedro (blanco), inscrito en el tetraedro (rojo), para lo cual hacemos que sus vértices coincidan con el centro de las aristas del tetraedro. A continuación podríamos colocar el cubo (amarillo), haciendo coincidir los cuatro vértices del tetraedro con otros tantos de aquel.

Ahora rodearíamos con el dodecaedro (verde), para lo que buscariamos la coincidencia de los ocho vértices del cubo. Por último se dispone el icosaedro (azul). Las aristas de este y el dodecaedro, se cortan en los puntos medios. Los centros de las caras de un icosaedro determinan un dodecaedro.

Por cierto, aquí un vídeo de como unos alumnos de 2º de ESO construyen un omniedro:


Las creencias de Platón

La historia de los sólidos platónicos se remonta a Platón y Pitágoras. Estos pensaban que los sólidos platónicos tenian propiedades mágicas y era de lo que estaba formado todo el universo. Los 4 elementos (que en la Antigua Grecia se suponía que formaban todas las cosas, como ahora los elementos químicos) eran atribuidos a cada figura: el tetraedro simbolizaba el fuego, el cubo la tierra, el octaedro el aire y el icosaedro el agua. El dodecaedro era el más especial de todos, puesto que se pensaba que era el cosmos y la clave de descifrar los secretos del mundo.
Aquí les dejo un texto explicativo de Wikipedia y un ameno vídeo sobre las creencias sobre los sólidos platónicos. (Por cierto, unos compañeros nuestros elaboraron un artículo sobre el Teorema de Pitágoras, por si estás interesado en él)
Se les llegó a atribuir incluso propiedades mágicas o mitológicas; Timeo de Locri, en el diálogo de Platón dice «El fuego está formado por tetraedros; el aire, de octaedros; el agua, de icosaedros; la tierra de cubos; y como aún es posible una quinta forma, Dios ha utilizado ésta, el dodecaedro pentagonal, para que sirva de límite al mundo». Los antiguos griegos estudiaron los sólidos platónicos a fondo.


Imágenes: Wikipedia

martes, 23 de febrero de 2010

EL ARTE Y LA GEOMETRÍA

La ciencia y el arte son dos actividades que solemos pensar que nunca se interrelacionan, debido en gran medida a la tendencia de hoy en día de dividir la mayoría de los aspectos de la vida en “ciencias” o “letras”.


Pero no hay ciencias sin letras, y viceversa. Es por ello que si miramos detenidamente las obras de arte, podemos apreciar que están compuestas de infinitos elementos geométricos, tanto formas simples como métodos y sistemas de representación.

Definiendo la perspectiva cónica científicamente, diríamos que se trata de un método gráfico de representación mediante el cual se nos permite plasmar en un plano horizontal la proyección de un cuerpo tridimensional mediante líneas rectas que intersectan en un mismo punto, obteniendo así una imagen aproximada de lo que vería el ojo humano a cierta distancia del objeto.


En la imagen de arriba se puede observar un cubo de arista x dibujado en perspectiva cónica frontal. El lado del cubo que esta frente al observador se ha dibujado en tamaño real (aunque también podría aplicarse cualquier escala, si fuera necesario). Para elaborar el dibujo es necesario conocer ciertos datos, como son la posición de los puntos D (que nos permite hallar la profundidad) y F (punto de fuga). En este caso disponemos de un solo punto de fuga, pero cuando se pretende representar una imagen con perspectiva oblicua, es necesario un segundo punto de fuga F’, para una de las direcciones. Las líneas grises horizontales representan la línea de tierra y la línea del horizonte, de cuya posición depende en gran medida el resultado obtenido.




Para relacionar este método de dibujo con la realidad, adjuntamos en siguiente esquema, en el que se muestran tanto los elementos que forman parte del dibujo como los elementos externos.



Ahora en cambio, hablemos sobre lo mismo desde un punto de vista más artístico.





Allá por el siglo XV una nueva corriente artística surgió en una Europa que volvía a acercarse, en lo que al arte se refiere, a la antigüedad clásica: el renacimiento.

Fue entonces cuando el concepto de la perspectiva tomó fuerza en la pintura. Un siglo más tarde (1500-1520) artistas italianos tales como Rafael, da Vinci y Miguel Ángel alcanzaron el culmen en lo que a innovación artística e intelectual se refiere.

La principal característica de la pintura renacentista es, precisamente la que nos interesa: el uso de la perspectiva. Pero, como se suele decir, una imagen vale más que mil palabras, así que ahí van:






A primera vista, parece que entre estas dos imágenes no hay relación alguna, pero si las combinamos…




Ahora es obvio que la primera imagen no era más que un esquema o simple boceto de lo que seria la Escuela de Atenas, de Rafael

.

Podemos ver como las líneas horizontales y verticales (algunas de ellas remarcadas en rojo y verde, respectivamente) no se desvían y siguen manteniéndose paralelas entre sí y perpendiculares con las otras. Pero si nos fijamos en las líneas de profundidad (remarcadas en negro) podemos apreciar como líneas que son paralelas en la realidad se van acercando hasta que convergen en un único punto, que en este caso se trata aproximadamente del centro de la obra.


Existen muchas otras pinturas en las que se aprecia el uso de la perspectiva cónica, que recorren siglos, desde La ciudad ideal de Piero della Francesca (1470)…



… hasta obras más actuales como Gran Vía, de Antonio López García.




Pasando por artistas como Van Gogh, que utilizó magistralmente la perspectiva en su famoso cuadro La habitación de Van Gogh (1888), ya que, aunque al principio se pensó que la aparente deformación de los objetos hacia la esquina derecha de la habitación se debía a un desequilibrio mental del autor, años después se descubrieron los planos de dicho cuarto, mostrados abajo, que justificaron la mencionada deformación.




domingo, 21 de febrero de 2010

¿En qué se parece un helecho, la costa y un copo de nieve?





Los tres son elementos de la naturaleza. Y los tres, con sus complicadas formas y repeticiones, parecen fractales. Y si estás pensando qué rayos es un fractal, te sorprenderás al conocer estas fascinantes estructuras que parecen más sacadas de un libro de arte que de uno de matemáticas.

Los fractales son figuras geométricas, al igual que los triángulos y los rectágulos, pero con unas propiedades especiales que los distiguen de éstos. Primero, son muy complejos, a cualquier tamaño. Tienen autosimilitud, es decir, que pueden dividirse en partes que son copias reducidas del total. A diferencia de otras figuras geométricas su dimensión es una fracción.































Los fractales frecuentemente lucen como objetos de la naturaleza. Muchos objetos naturales, como los helechos, copos de nieve, las costas de los países, rocas, tienen formas parecidas a los fractales.
Una cosa interesante de los fractales es que su estudio es nuevo y están siendo investigados en la actualidad.

Aquí os dejo un vídeo bastante interesante sobre los fractales.

viernes, 19 de febrero de 2010

Reflexión sobre la geometría proyectiva

Tradicionalmente se ha definido como la parte de la geometría que estudia las propiedades de incidencia de las figuras, abstrayéndose totalmente del concepto de medida.
Al considerar por ejemplo un cuadrilátero completo, la Geometría Proyectiva no estudia ninguna de las propiedades de medida entre sus lados y ángulos, sino todo lo que se derive del hecho de tener una figura formada por cuatro rectas no concurrentes tres a tres que determinan seis puntos de corte.





Dicho cuatrilátero tiene seis vértices.










Estas propiedades que a primera vista pueden parecer irrelevantes, pueden llegar a ser herramientas muy potentes sin las cuales no podríamos desenvolvernos en la geometría que requiere el diseño en la ingeniería.


El problema del pintor


Considerad por un momento el problema con el que un artista se enfrenta cuando debe pintar un objeto real sobre un lienzo: debe reproducir de manera casi idéntica la que percibe en la realidad.

En un esfuerzo para producir cuadros más reales, los artistas del Renacimiento se interesaron profundamente en descubrir las leyes que rigen la construcción de la proyección de los objetos reales sobre un plano.





Masaccio, 1435.

Primera pintura con perspectiva.








Leonardo Da Vinci.

La Última Cena.






Entonces, ¿cómo podemos representar un objeto tridimensional sobre un plano? ¿Qué se conserva por proyección si no lo hacen ni la longitud ni los ángulos? ¿Qué relación hay entre dos secciones de la misma figura? ¿A qué distancia están las estrellas?















Todos estos aspectos están incluidos en la Geometría Proyectiva.