Los sólidos platónicos, también conocidos como cuerpos platónicos, cuerpos cósmicos, sólidos pitagóricos, sólidos perfectos, poliedros de Platón o, con más precisión, poliedros regulares convexos; son cuerpos geométricos caracterizados por ser poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cuyos vértices se unen el mismo número de caras.
El cubo o hexaedro, con 6 caras cuadradas y un ángulo de 90º
El octaedro, con 8 caras triangulares equiláteras y un ángulo de 109,47º
El icosaedro, con 20 caras triangulares equiláteras y un ángulo de 138,19º
El dodecaedro, con 12 caras pentagonales regulares y un ángulo de 116,56ºLos sólidos platónicos son fuertemente simétricos:
Como consecuencia geométrica de lo anterior, se pueden trazar en todo sólido platónico tres esferas particulares, todas ellas centradas en el centro de simetría del poliedro:
Proyectando los centros de las aristas de un poliedro platónico sobre su esfera circunscrita desde el centro de simetría del poliedro se obtiene una red esférica regular, compuesta por arcos iguales de círculo máximo, que constituyen polígonos esféricos regulares.
-Conjugación:
Si se traza un poliedro empleando como vértices los centros de las caras de un sólido platónico se obtiene otro sólido platónico, llamado conjugado del primero, con tantos vértices como caras tenía el sólido inicial, y el mismo número de aristas. El poliedro conjugado de un dodecaedro es un icosaedro, y viceversa; el de un cubo es un octaedro; y poliedro conjugado de un tetraedro es otro tetraedro.
Los sólidos platónicos se presentan en la naturaleza (como por ejemplo la estructura básica del VIH, que es un icosaedro) y también el ser humano las ha utilizado para diversas cosas, como bien podréis adivinar.
Un ejemplo, los dados.
El Omnipoliedro
Un omnipoliedro es una composición realizada con los armazones de los cinco sólidos platónicos de forma que cada uno de ellos queda inscrito en otro.
Para empezar colocamos el octaedro (blanco), inscrito en el tetraedro (rojo), para lo cual hacemos que sus vértices coincidan con el centro de las aristas del tetraedro. A continuación podríamos colocar el cubo (amarillo), haciendo coincidir los cuatro vértices del tetraedro con otros tantos de aquel.
Ahora rodearíamos con el dodecaedro (verde), para lo que buscariamos la coincidencia de los ocho vértices del cubo. Por último se dispone el icosaedro (azul). Las aristas de este y el dodecaedro, se cortan en los puntos medios. Los centros de las caras de un icosaedro determinan un dodecaedro.
Se les llegó a atribuir incluso propiedades mágicas o mitológicas; Timeo de Locri, en el diálogo de Platón dice «El fuego está formado por tetraedros; el aire, de octaedros; el agua, de icosaedros; la tierra de cubos; y como aún es posible una quinta forma, Dios ha utilizado ésta, el dodecaedro pentagonal, para que sirva de límite al mundo». Los antiguos griegos estudiaron los sólidos platónicos a fondo.
Pero no hay ciencias sin letras, y viceversa. Es por ello que si miramos detenidamente las obras de arte, podemos apreciar que están compuestas de infinitos elementos geométricos, tanto formas simples como métodos y sistemas de representación.
Definiendo la perspectiva cónica científicamente, diríamos que se trata de un método gráfico de representación mediante el cual se nos permite plasmar en un plano horizontal la proyección de un cuerpo tridimensional mediante líneas rectas que intersectan en un mismo punto, obteniendo así una imagen aproximada de lo que vería el ojo humano a cierta distancia del objeto.
En la imagen de arriba se puede observar un cubo de arista x dibujado en perspectiva cónica frontal. El lado del cubo que esta frente al observador se ha dibujado en tamaño real (aunque también podría aplicarse cualquier escala, si fuera necesario). Para elaborar el dibujo es necesario conocer ciertos datos, como son la posición de los puntos D (que nos permite hallar la profundidad) y F (punto de fuga). En este caso disponemos de un solo punto de fuga, pero cuando se pretende representar una imagen con perspectiva oblicua, es necesario un segundo punto de fuga F’, para una de las direcciones. Las líneas grises horizontales representan la línea de tierra y la línea del horizonte, de cuya posición depende en gran medida el resultado o
btenido.
Para relacionar este método de dibujo con la realidad, adjuntamos en siguiente esquema, en el que se muestran tanto los elementos que forman parte del dibujo como los elementos externos.
Ahora en cambio, hablemos sobre lo mismo desde un punto de vista más artístico.
Allá por el siglo XV una nueva corriente artística surgió en una Europa que volvía a acercarse, en lo que al arte se refiere, a la antigüedad clásica: el renacimiento.
Fue entonces cuando el concepto de la perspectiva tomó fuerza en la pintura. Un siglo más tarde (1500-1520) artistas italianos tales como Rafael, da Vinci y Miguel Ángel alcanzaron el culmen en lo que a innovación artística e intelectual se refiere.
La principal característica de la pintura renacentista es, precisamente la que nos interesa: el uso de la perspectiva. Pero, como se suele decir, una imagen vale más que mil palabras, así que ahí van:
A primera vista, parece que entre estas dos imágenes no hay relación alguna, pero si las combinamos…
Ahora es obvio que la primera imagen no era más que un esquema o simple boceto de lo que seria la Escuela de Atenas, de Rafael
.
Podemos ver como las líneas horizontales y verticales (algunas de ellas remarcadas en rojo y verde, respectivamente) no se desvían y siguen manteniéndose paralelas entre sí y perpendiculares con las otras. Pero si nos fijamos en las líneas de profundidad (remarcadas en negro) podemos apreciar como líneas que son paralelas en la realidad se van acercando hasta que convergen en un único punto, que en este caso se trata aproximadamente del centro de la obra.
Existen muchas otras pinturas en las que se aprecia el uso de la perspectiva cónica, que recorren siglos, desde La ciudad ideal de Piero della Francesca (1470)…
… hasta obras más actuales como Gran Vía, de Antonio López García.
Pasando por artistas como Van Gogh, que utilizó magistralmente la perspectiva en su famoso cuadro La habitación de Van Gogh (1888), ya que, aunque al principio se pensó que la aparente deformación de los objetos hacia la esquina derecha de la habitación se debía a un desequilibrio mental del autor, años después se descubrieron los planos de dicho cuarto, mostrados abajo, que justificaron la mencionada deformación.
Estas propiedades que a primera vista pueden parecer irrelevantes, pueden llegar a ser herramientas muy potentes sin las cuales no podríamos desenvolvernos en la geometría que requiere el diseño en la ingeniería.
El problema del pintor
Considerad por un momento el problema con el que un artista se enfrenta cuando debe pintar un objeto real sobre un lienzo: debe reproducir de manera casi idéntica la que percibe en la realidad.
En un esfuerzo para producir cuadros más reales, los artistas del Renacimiento se interesaron profundamente en descubrir las leyes que rigen la construcción de la proyección de los objetos reales sobre un plano.
Masaccio, 1435.
Primera pintura con perspectiva.
Leonardo Da Vinci.
La Última Cena.
Entonces, ¿cómo podemos representar un objeto tridimensional sobre un plano? ¿Qué se conserva por proyección si no lo hacen ni la longitud ni los ángulos? ¿Qué relación hay entre dos secciones de la misma figura? ¿A qué distancia están las estrellas?
Todos estos aspectos están incluidos en la Geometría Proyectiva.
La simetría es un rasgo característico de formas geométricas, sistema, ecuaciones, y otros objetos materiales o entidades abstractas, relacionada con su invariancia bajo ciertas transformaciones, movimientos o intercambios." Si vamos a la definición de la RAE, tercera acepción:La simetría nos rodea en todos los aspectos y de maneras muy diferentes, y tenemos una concepción abstracta de la simetría en nuestras mentes. Veamos los tipos de simetría simples:"Geom. Correspondencia exacta en la disposición regular de las partes o puntos de un cuerpo o figura con relación a un centro, un eje o un plano.
